控制系统的状态空间表达式：描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称状态空间表达式

状态方程：描述状态变量与输入之间的关系（动态/微分方程）

输出方程：描述输出与状态变量之间的关系（静态/代数方程）

状态空间输入和输出方程一般形如：

动态系统的两类数学描述：
外部描述：（输入——输出描述）
内部描述：状态空间描述

微分方程和差分方程：

差分方程：由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。

二阶系统模型：R-L-C震荡电路

二阶表达式

状态空间描述基本概念：

输入：外部对系统的作用（激励），输入包括控制输入和干扰输入。
输出：系统的被控量或从外部测量到的系统信息。
若输出是由传感器测量得到的，又称为观测。

状态变量：一个动力学系统的状态变量组定义为：能完全表征其时间域行为 的一个最小内部变量组。

状态变量组最小性的物理特征。独立储能元件？。

状态矢量：一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组所组成的一个列向量。

系统矩阵 输入矩阵 输出矩阵 前馈矩阵

画方框图：？

系统框图写系统状态空间表达式？

RC滤波环节？

小结：系统是几维系统，则对应几个状态方程，即对应几个积分器，积分器的输出就是状态变量。

拉普拉斯变换

输入不含导数项：

能控规范型（能控标准型）

求解系统状态空间表达式的关键就在于状态变量的选取（这也是为什么系统有多种表现形式的原因），对于如上输入不含导数项的情况，状态变量往往选为输出变量的0~n-1阶导数，就可以获得n个一阶微分方程，从而将高阶系统转化为一阶微分方程组，最终使控制系统得到简化。

用向量-矩阵的形式表示时，状态空间方程如下：

能观规范型

输入含有导数项

输入含有导数项的微分方程在不仅求解上复杂，而且在物理实现上也存在麻烦，故希望选取合适的状态变量使得状态方程中不含输入函数的导数项。输入含有导数项的微分方程与传递函数如下：

注意n的顺序，这里的n的大小是从高次项往低次项递增的

能控规范型

将传递函数改写为：

选择状态变量为中间变量z的0到n-1阶导数：

结果得到与输入没有导数项的状态方程类似，不同的是输出方程:

最终的到输入含有导数项的能控规范形状态空间表达式为：

能观规范型

这便是输入含有导数项的能观测规范形状态空间表达式。

小结：可以由传递函数直接写出其规范型，如果记住公式的话。

约旦规范型

除了能控规范形和能观测规范形，也可以把系统矩阵写成约旦形，有时候会特别有用。约旦规范形又可以分为两种情况。

传递函数所有极点互异。将传递函数分解为部分分式的形式：

选取状态变量：

则有：

改写成矩阵形式，即可得到极点互异的约当规范形状态空间表达式：

观察表达式可以知道，系统矩阵的中的主对角元素正好是该系统的极点，而且只有主对角元素才有可能是非零的，系统矩阵则变为一个对角阵。对角阵是一种特殊的约旦阵。

传递函数所有极点非互异（有重根）

首先依然是将传递函分解为部分分式形式，然后再用留数法确定其系数:

接着选择状态变量（重极点与互异极点分开选）：

以上三种情况的约旦规范形状态空间表达式可以归纳为：

观察约旦规范形的各个系数矩阵可知：系统矩阵的主对角线由一些约旦块组成，并且其余元素都为0。当所有约旦块均为1阶时，系统矩阵为对角矩阵，也就是系统无重极点，并且主对角线的值也是系统矩阵的特征值。

上课时候一些课件图片

对角规范型（顾名思义）

以上两式互为对偶，系统模拟结构图也互为对偶

及约旦规范型实现

矩阵有相同特征值时，可转换为约旦标准型。假设矩阵A有4个特征值，其中2个相同，可转换为如下的约旦标准型（约旦块可以为一阶），主对角线上面对应为1

电容电感电流电压计算公式

阻尼器计算公式：F=c*v,F为阻尼器输出阻尼力（kN），C为阻尼系数（kN/(m/s)α），V为阻尼器活塞与缸筒的相对运动速度(m/s)，α为阻尼指数。阻尼指数α，也叫速度指数

状态变量的线性变换

行列式

代数余子式

余子式

逆矩计算方法

伴随矩阵法：伴随矩阵/行列式

初等变换法（初等行变换和初等列变换）

但是是有条件的.如果是对[A E]进行操作就必须是行变换,如果对上边A下边E的形式就必须用列变换.对同一形式不能一会行变换,一会列变换.

状态空间表达式的非唯一性

矩阵的秩：若为满秩，则行列式不为0，且可逆

系统特征值不变性及其系统的不变量

系统状态空间表达式中的系统矩阵A的特征值称为系统的特征值

小结：非奇异线性变换不改变系统的特征值，不改变传递函数矩阵

特征矢量？

状态空间表达式化对角标准型

状态空间表达式化约旦标准型

• 计算特征值
• 求特征向量的逆矩阵

从状态空间表达式求传递函数阵或传递函数

• mimo（多）
• siso（单）

传递函数阵：多个输入和输出构成的矩阵

• 计算逆矩阵（只能用伴随矩阵法，有多项式在里面的话）

离散时间系统的状态空间表达式

离散系统的状态空间表达式可以用差分方程表示

离散系统模拟结构图

离散函数传递函数阵

时变系统和非线性系统的状态空间表达式

线性时变系统

状态空间表达式为

非线性系统

泰勒展开（建立状态空间表达式的过程）

第二章 控制系统状态空间表达式的解

系统的自由解 p58

矩阵指数函数

证明

状态转移矩阵的基本性质(四个矩阵)

根据状态转移矩阵（∅（t））求系统矩阵

求矩阵指数函数

∅（t）也是如上计算，两者相等

p63例题3

拉氏变换

凯莱哈密顿定理

互异和不互异

p66 2.6 2.7p

线性系统的非齐次方程的求解

p69 拉普拉斯变换证明

p69 2.27 公式

*线性时变和离散

如何计算矩阵指数函数？

定义法：

对于给定的N*N矩阵，计算公式为

此方法能够得到矩阵指数函数的数值解，且在编程计算和获得数值解方面有着很大的优势。但不能得到矩阵指数函数的解析形式。

特征值法：

通过特征值法计算矩阵指数函数的方式，首先要确定矩阵A的特征值λ为两两互异的，同时根据特征值导出矩阵A的右特征向量v_i，求出变换矩阵P(一般来讲这里是T)

这里介绍一下求逆矩阵的方法

增广矩阵+单位矩阵变换法（需要初等行变换）

伴随矩阵法（二阶特殊（只需要主对角线交换，副对角线取相反数））
这里代数余子式用到了

拉氏变换

直接记公式求解就行

凯莱公式

第三章 线性控制系统的能控性和能观性

线性连续定常系统的能控性，与状态方程有关，与输出方程无关。

对角型及其约旦标准型判据（）

定理：非奇异变换 不改变线性定常系统的能控性和能观性

能观性

如果满秩，可观

能控判断

判据1：A为对角型且特征值互异，状态能控的充要条件是B阵每行元素不全为零
判据2：A为约旦型，状态能控的充要条件是B阵相应于约旦块的最后一行元素不全为0

能观判断

判据1：A为对角型且特征值互异，状态能观的充要条件是C阵每列元素不全为零
判据2：A为约旦型，状态能观的充要条件是c阵相应于约旦块的第一列元素不全为0

基于对角判断系统能观能控

b矩阵横着观察 全部都非0能控

c阵竖着观察 全部非零能观

基于约旦型判断系统能控能观

分约旦块后，看最后一行，每个约旦块最后一行不能为0但必须线性不相关，才能可控(特征值相同的情况下，这里是看每一行是否特征值相同)

看第一列，每个约旦块第一列不能为0但必须线性不相关，才能可观

小结:具有相同特征值的单输入一—单输出系统,
必然是状态既不能控又不能观。

互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的且其特征方程相同。

互为对偶系统 一个能观对应另一个能控

一个能控对应另一个能观

两者有什么关系？能控二型和能观一型对偶，能控1型和能观2型对偶

能控规范一型和二型

能观规范一型和二型

只有状态完全能观才能变换成能观规范型

例题3.12 3.13 3.14 p126

线性系统结构分解

能控分解，只有不完全能控才需要

状态不完全能控传递函数阵等于能控分解后子系统的传递函数阵，能观也是

秩小于维数 能控性？

分解 例题3.17？

p155 zuoye 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 1 3.12 2 3.13 1 3.14 1

P144 3.126有问题

行数少写能观，列数少写能控

P148 rank位置有错误

P149 <n 为 <nr

外部稳定能推内部稳定，反过来不一定

李雅普诺夫

p171

p187 4-9

p178 有问题

p195 例5-2 掌握画图

4.5 4.6 4.10

对完全能控的siso系统，不能采用输出型反馈来实现闭环系统极点的任意配置